Question

18．如圖，半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式折疊，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 連接OM交AB于點C，連接OA、OB，根據(jù)題意OM⊥AB且OC=MC=$\frac{1}{2}$，繼而求出∠AOC=60°、AB=2AC=$\sqrt{3}$，然后根據(jù)S_弓形ABM=S_扇形OAB-S_△AOB、S_陰影=S_半圓-2S_弓形ABM計算可得答案．

解答 解：如圖，連接OM交AB于點C，連接OA、OB，

由題意知，OM⊥AB，且OC=MC=$\frac{1}{2}$，
在RT△AOC中，∵OA=1，OC=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠AOC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠AOC=60°，AB=2AC=$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
則S_弓形ABM=S_扇形OAB-S_△AOB
=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
S_陰影=S_半圓-2S_弓形ABM
=$\frac{1}{2}$π×1²-2（$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了軸對稱的性質的運用、勾股定理的運用、三角函數(shù)值的運用、扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用，解答時運用軸對稱的性質求解是關鍵．