Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上設定一個以大本營O為圓心，半徑為4km的圓形考察區(qū)域，線段P₁P₂是冰川的部分邊界線（不考慮其它邊界），當冰川融化時，邊界線沿著與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，若經(jīng)過n年，冰川的邊界線P₁P₂移動的距離為s（km），并且s與n（n為正整數(shù)）的關系是s=

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

．以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，其中P₁、P₂的坐標分別為（-4，9）、（-13、-3）．
（1）求線段P₁P₂所在直線對應的函數(shù)關系式；
（2）求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：應用題

分析：（1）設P₁P₂所在直線對應的函數(shù)關系式是y=kx+b，由待定系數(shù)法求出其解就可以得出結(jié)論；
（2）由（1）的解析式求出直線P₁P₂與坐標軸的交點，設最短距離為a，由三角形的 面積相等建立方程，求出a的值就求出了s的值，再代入s=

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

就可以求出時間．

解答：解：（1）設P₁P₂所在直線對應的函數(shù)關系式是y=kx+b，根據(jù)題意，得

-4k+b=9 -13k+b=-3

，
解得：

k= 4 3 b= 43 3

，
∴直線P₁P₂的解析式是：y=

4

3

x+

43

3

；

（2）在y=

4

3

x+

43

3

中，
當x=0，則y=

43

3

，
當y=0，則x=-

43

4

，
∴與x、y軸的交點坐標是（0，

43

3

）、（-

43

4

，0）．
由勾股定理，得

( 43 3 )2+( 43 4 )2

=

215

12

，
當P₁P₂與⊙O相切時，此時冰川移動的距離最短，
設移動的最短距離是s，O點到直線P₁P₂的距離為x，
則根據(jù)面積相等列出等式，

1

2

×

43

3

×

43

4

=

1

2

×

215

12

x，
解得：x=

43

5

，
即s=

43

5

-4=

23

5

∵s=

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

，
∴

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

=

23

5

，
解得：n₁=6，n₂=-4.8（舍去）
答：冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為6年．

點評：本題考察了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出一次函數(shù)的解析式是關鍵．