【題目】(10分)把兩個(gè)直角邊長(zhǎng)均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起(如圖①),使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿(mǎn)足條件:0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分(如圖②).

(1)探究:在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況(直接寫(xiě)出探究的結(jié)果,不必寫(xiě)探究及推理過(guò)程);

(2)利用(1)中你得到的結(jié)論,解決下面問(wèn)題:連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的?若存在,求出此時(shí)BH的長(zhǎng)度;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1) BH=CK;(2) 存在,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置,此時(shí)BH的長(zhǎng)度為

【解析】(1)先由ASA證出△CGK≌△BGH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK,根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半;
(2)根據(jù)面積公式得出S△GHK=S四邊形CKGH-S△CKH=x2-3x+9,根據(jù)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的,代入得出方程x2-3x+9=××6×6,求出即可.

解:(1)BH與CK的數(shù)量關(guān)系:BH=CK,理由是:

連接OC,

由直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)得出OC=BG,

∵AC=BC,O為AB中點(diǎn),∠ACB=90°,

∴∠B=∠ACG=45°,CO⊥AB,

∴∠CGB=90°=∠KGH,

∴都減去∠CGH得:∠BGH=∠CGK,

在△CGK和△BGH中

∴△CGK≌△BGH(ASA),

∴CK=BH,即BH=CK;

四邊形CHGK的面積的變化情況:四邊形CHGK的面積不變,始終等于四邊形CQGZ的面積,即等于△ACB面積的一半,等于9;

(2)假設(shè)存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置.

設(shè)BH=x,由題意及(1)中結(jié)論可得,CK=BH=x,CH=CB﹣BH=6﹣x,

∴S△CHK=CH×CK=3x﹣x2,

∴S△GHK=S四邊形CKGH﹣S△CKH=9﹣(3x﹣x2)=x2﹣3x+9,

∵△GKH的面積恰好等于△ABC面積的,

x2﹣3x+9=××6×6,

解得, (經(jīng)檢驗(yàn),均符合題意).

∴存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置,此時(shí)x的值為

“點(diǎn)睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的面積,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),此題有一定的難度,但是一道比較好的題目.

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