Question

如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，在底邊BC上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E，使AE=AD，連接DE，在∠ABD的內(nèi)部作∠ABF=2∠EDC，交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABF是等腰三角形；

（2）如圖2，BF的延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G．若∠DAC=∠CBG，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)M，使GM=AB，連接BM，點(diǎn)N是BG的中點(diǎn)，連接AN，試判斷線(xiàn)段AN、BM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）先利用等腰三角形ABC，得出∠ABD=∠ACD，再利用三角形外角定理得出∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，再結(jié)合∠ABF=2∠EDC，即可求出結(jié)論．

（2）延長(zhǎng)CA至點(diǎn)H，使AG=AH，連接BH，由三角形中位線(xiàn)定理得出AG=BH，再得出△ABC是等邊三角形，易證△BAH≌△BCM，可得出BH=BM，即可得出結(jié)論AG=BM．

【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB=AC，

∴∠ABD=∠ACD，

∵∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，

∵AE=AD，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD=2∠EDC，

∵∠ABF=2∠EDC，

∴∠BAD=∠ABF，

∴△ABF是等腰三角形；

（2）如圖2延長(zhǎng)CA至點(diǎn)H，使AG=AH，連接BH，

∵點(diǎn)N是BG的中點(diǎn)，

∴AN=BH，

∵∠BAD=∠ABF（1）中已證明，∠DAC=∠CBG，

∴∠CAB=∠CBA，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，

∠BAC=∠BCA=60°，

∵GM=AB，AB=AC，

∴CM=AG，

∴AH=CM，

在△BAH和△BCM中，

∴△BAH≌△BCM（SAS），

∴BH=BM，

∴AN=BM．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，得出第（2）題中△ABC是等邊三角形．