Question

【題目】把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新數(shù)，叫做第一次運算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫做第二次運算，……如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”．例如：

，

所以32和70都是“快樂數(shù)”．

（1）最小的兩位“快樂數(shù)”是 ；

（2）證明19是“快樂數(shù)”；

（3）若一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)” ．

Answer 1

【答案】（1）最小的兩位“快樂數(shù)”是10；

（2）證明見解析；

（3）310和860滿足已知條件.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)快樂數(shù)的定義即刻得到結(jié)論；
（2）由19經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)三位“快樂數(shù)”為abc，由題意，經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，所以第一次運算后結(jié)果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10或100即可得出結(jié)論.

試題解析：(1)最小的兩位“快樂數(shù)”是10.

(2)因為，

所以19是快樂數(shù).

（3）設(shè)三位“快樂數(shù)”為 abc ，由題意，經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，所以第一次運算后結(jié)果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10 或100,

又因為a、b、c為整數(shù)，且a≠0 ，所以當(dāng) a2+b2+c2=10 時，

因為 12+32+02=10

當(dāng)a=1，b=3或0，三位“快樂數(shù)”為130，103，

當(dāng)a=3時，b=1或0，c=0或1，三位“快樂數(shù)”為310，301

同理當(dāng)a2+b2+c2=10 0時，因為62+82+02=100， 所以三位“快樂數(shù)”有680，608，806，860.

綜上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八個.又因為三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，所以只有310和860滿足已知條件.