Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC延長線上的一點，以AD為邊向形外作等邊△ADE，連接CE.(1) 求證：△ACE≌△ABD；

(2) 在點D運(yùn)動過程中，∠DCE的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變化，求它的度數(shù)；若變化，說明理由；

(3) 若∠BAE=150°，△ABD的面積為6，求四邊形ACDE的面積.

備用圖

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不發(fā)生變化，理由見解析；（3）12

【解析】試題分析：（1）易證AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，即可求得∠BAD=∠CAE，由全等三角形的判定SAS，證明△ABD≌△ACE；

（2）根據(jù)（1）知△ACE≌△ABD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)，得出∠DCE=60°，得出不發(fā)生變化；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，由∠BAE=150°，得到△ACE，△DCE，△ABD的面積相等，從而求出四邊形的面積.

試題解析：(1) ∵△ABC為等邊三角形，△ADE為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE，即∠BAD=∠CAE.在△ACE與△ABD中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ACE≌△ABD；

(2) 在點D運(yùn)動過程中，∠DCE的度數(shù)不發(fā)生變化.理由如下：由(1)知：△ACE≌△ABD，∴∠ABC=∠ACE=60°.∵∠ACB=60°，∴∠ACD=120°，∠DCE=60°，∴在點D運(yùn)動過程中，∠DCE的度數(shù)不發(fā)生變化.

（3）∵△ABC和△ADE是等邊三角形

∴∠BAC=∠DAE=60°

∵∠BAE=150°

∴∠CAD=30°，∠BAD=90°，

∴∠BAD=30°

即△ACE≌△DCE

∵△ABD≌△ACE

∴四邊形ACDE的面積=2△ACD的面積=2△ABD的面積=2×6=12.