Question

已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連接ME、MD、ED．
（1）求證：△MED為等腰三角形；
（2）求證：∠EMD=2∠DAC．

Answer 1

證明：（1）∵M為AB邊的中點，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=AB，MD=AB，
∴ME=MD，
∴△MED為等腰三角形；

（2）∵ME=AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．
分析：（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因為M為AB邊的中點，所以ME=MD=AB，所以△MED為等腰三角形；
（2）利用三角形的外角等于和它不相鄰兩個內(nèi)角的和這樣推論，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，作差即可證得結論．
點評：本題反復運用了“等邊對等角”這一判定定理，將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關角的關系，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角和及三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)來證得結論．