Question

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）在AC上求作一點P，使∠ABP=∠A；（用尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）
（2）如果∠A=22.5°，利用上述作圖，求tan22.5°的值．（結果保留根式）

Answer 1

解：（1）如圖所示，點P即為所求；

（2）∵∠A=22.5°，∠ABP=∠A，
∴∠BPC=∠A+∠ABP=22.5°+22.5°=45°．
又∵∠C=90°，
∴∠PBC=45°，
∴BC=CP，BP=BC，
∴AP=BP=BC，
∴AC=AP+PC=BC+BC=（+1）BC，
∴tan22.5°=tanA===-1．
分析：（1）作出AB的垂直平分線，與AC的交點即是所求P點；
（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BPC=45°，得出△BPC是等腰直角三角形，由勾股定理知BP=BC，再由等角對等邊得出AP=BP，然后在△ABC中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出tanA即tan22.5°的值．
點評：此題主要考查了線段垂直平分線的作法及其性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合性較強，難度中等．