【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣x+3(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且對(duì)稱軸為直線x=﹣2.
(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P(0,t)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)進(jìn)行如下探究: 探究一:如圖1,設(shè)△PAD的面積為S,令W=tS,當(dāng)0<t<4時(shí),W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此時(shí)t的值;如果沒有,說明理由;

探究二:如圖2,是否存在以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOC相似?如果存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.(參考資料:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)對(duì)稱軸是直線x=

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2﹣x+3(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣2.

,

∴D(﹣2,4)


(2)解:探究一:當(dāng)0<t<4時(shí),W有最大值.

∵拋物線 交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,

∴A(﹣6,0),B(2,0),C(0,3),

∴OA=6,OC=3.

當(dāng)0<t<4時(shí),作DM⊥y軸于M,

則DM=2,OM=4.

∵P(0,t),

∴OP=t,MP=OM﹣OP=4﹣t.

∵S三角形PAD=S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP

=

=

=12﹣2t

∴W=t(12﹣2t)=﹣2(t﹣3)2+18

∴當(dāng)t=3時(shí),W有最大值,W最大值=18.

探究二:

存在.分三種情況:

①當(dāng)∠P1DA=90°時(shí),作DE⊥x軸于E,

則OE=2,DE=4,∠DEA=90°,

∴AE=OA﹣OE=6﹣2=4=DE.

∴∠DAE=∠ADE=45°, ,

∴∠P1DE=∠P1DA﹣∠ADE=90°﹣45°=45度.

∵DM⊥y軸,OA⊥y軸,

∴DM∥OA,

∴∠MDE=∠DEA=90°,

∴∠MDP1=∠MDE﹣∠P1DE=90°﹣45°=45度.

∴P1M=DM=2,

此時(shí)

又因?yàn)椤螦OC=∠P1DA=90°,

∴Rt△ADP1∽R(shí)t△AOC,

∴OP1=OM﹣P1M=4﹣2=2,

∴P1(0,2).

∴當(dāng)∠P1DA=90°時(shí),存在點(diǎn)P1,使Rt△ADP1∽R(shí)t△AOC,

此時(shí)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)

②當(dāng)∠P2AD=90°時(shí),則∠P2AO=45°,

,

,

∴△P2AD與△AOC不相似,此時(shí)點(diǎn)P2不存在.

③當(dāng)∠AP3D=90°時(shí),以AD為直徑作⊙O1,則⊙O1的半徑 ,

圓心O1到y(tǒng)軸的距離d=4.

∵d>r,

∴⊙O1與y軸相離.

不存在點(diǎn)P3,使∠AP3D=90度.

∴綜上所述,只存在一點(diǎn)P(0,2)使Rt△ADP與Rt△AOC相似.


【解析】(1)由拋物線的對(duì)稱軸求出a,就得到拋物線的表達(dá)式了;(2)①下面探究問題一,由拋物線表達(dá)式找出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),作DM⊥y軸于M,再由面積關(guān)系:SPAD=S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表達(dá)式,從而W用t表示出來,轉(zhuǎn)化為求最值問題.②難度較大,運(yùn)用分類討論思想,可以分三種情況:(1)當(dāng)∠P1DA=90°時(shí);(2)當(dāng)∠P2AD=90°時(shí);(3)當(dāng)AP3D=90°時(shí);思路搞清晰問題就好解決了.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)當(dāng)PC⊥QB時(shí),求OQ的長.
(3)當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí),求OQ的長.

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抽取的彩色彈力球數(shù)n

500

1000

1500

2000

2500

優(yōu)等品頻數(shù)m

471

946

1426

1898

2370

優(yōu)等品頻率

0.942

0.946

0.951

0.949

0.948

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中完成這批彩色彈力球優(yōu)等品頻率的折線統(tǒng)計(jì)圖

(2)這批彩色彈力球優(yōu)等品概率的估計(jì)值大約是多少?(精確到0.01)

(3)從這批彩色彈力球中選擇5個(gè)黃球、13個(gè)黑球、22個(gè)紅球,它們除了顏色外都相同,將它們放入一個(gè)不透明的袋子中,求從袋子中摸出一個(gè)球是黃球的概率.

(4)現(xiàn)從第(3)問所說的袋子中取出若干個(gè)黑球,并放入相同數(shù)量的黃球,攪拌均勻,使從袋子中摸出一個(gè)黃球的概率為,求取出了多少個(gè)黑球?

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(1)求一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式;

(2)結(jié)合圖象,直接寫出滿足kx+b>的x的取值范圍;

(3)若點(diǎn)P在x軸上,且SACP=SBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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