Question

【題目】(2016浙江省溫州市第24題)如圖，在射線BA，BC，AD，CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，O是射線BD上一點(diǎn)，⊙O與BA，BC都相切，與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．過(guò)M作EF⊥BD交線段BA（或射線AD）于點(diǎn)E，交線段BC（或射線CD）于點(diǎn)F．以EF為邊作矩形EFGH，點(diǎn)G，H分別在圍成菱形的另外兩條射線上．

（1）求證：BO=2OM．

（2）設(shè)EF＞HE，當(dāng)矩形EFGH的面積為24時(shí)，求⊙O的半徑．

（3）當(dāng)HE或HG與⊙O相切時(shí)，求出所有滿(mǎn)足條件的BO的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、答案見(jiàn)解析；(2)、2或4；(3)、18﹣6或9或18或18+6．

【解析】

試題分析：(1)、設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°．先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù)，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可；(2)、設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長(zhǎng)，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)．在Rt△BEM中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(zhǎng)（用含r的式子表示），由圖形的對(duì)稱(chēng)性可得到EF、ND、BM的長(zhǎng)（用含r的式子表示，從而得到MN=18﹣6r，接下來(lái)依據(jù)矩形的面積列方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)．BM=3r，則MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；(3)、先根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形，①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時(shí)，可求得DM=r，BM=3r，然后依據(jù)BM+MD=18，列方程求解即可；②如圖5所示；依據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性可知得到OB=BD；③如圖6所示，可證明D與O重合，從而可求得OB的長(zhǎng)；④如圖7所示：先求得DM=r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．

試題解析：(1)、如圖1所示：設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，則∠OPB=90°． ∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠ABD=∠ABC=30°．∴OB=2OP． ∵OP=OM， ∴BO=2OP=2OM．

(2)、如圖2所示：設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q． ∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD． ∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ=AB=18． 設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．

∵EF＞HE， ∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在菱形的邊上．

①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)．

在Rt△BEM中，EM=BMtan∠EBM=r． 由對(duì)稱(chēng)性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3r．

∴MN=18﹣6r． ∴S矩形EFGH=EFMN=2r（18﹣6r）=24． 解得：r1=1，r2=2．

當(dāng)r=1時(shí)，EF＜HE， ∴r=1時(shí)，不合題意舍 當(dāng)r=2時(shí)，EF＞HE， ∴⊙O的半徑為2． ∴BM=3r=6．

如圖3所示： 當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)．BM=3r，則MD=18﹣3r． 由對(duì)稱(chēng)性可知：NB=MD=6．

∴MB=3r=18﹣6=12． 解得：r=4． 綜上所述，⊙O的半徑為2或4．

(3)、解設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，⊙O的半徑為r，則BO=2r．

當(dāng)點(diǎn)E在邊BA上時(shí)，顯然不存在HE或HG與⊙O相切．

①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時(shí)． ∵HE與⊙O相切， ∴ME=r，DM=r． ∴3r+r=18．

解得：r=9﹣3． ∴OB=18﹣6．

②如圖5所示；由圖形的對(duì)稱(chēng)性得：ON=OM，BN=DM． ∴OB=BD=9．

③如圖6所示．∵HG與⊙O相切時(shí)，MN=2r．∵BN+MN=BM=3r． ∴BN=r． ∴DM=FM=GN=BN=r．

∴D與O重合． ∴BO=BD=18．

④如圖7所示：∵HE與⊙O相切，∴EM=r，DM=r．∴3r﹣r=18． ∴r=9+3．

∴OB=2r=18+6．

綜上所述，當(dāng)HE或GH與⊙O相切時(shí)，OB的長(zhǎng)為18﹣6或9或18或18+6．