Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，交軸與兩點(diǎn)，連接已知．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：是直角三角形；

（3）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．

【解析】

（1）將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式中，即可求出答案；

（2）先將拋物線解析式與直線解析式聯(lián)立求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)作軸于則，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，分四種情況：①若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，當(dāng)時(shí)；②若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，當(dāng)時(shí)；③若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，當(dāng)時(shí)；④若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行計(jì)算即可．

（1）把代入

得：，解得：，

拋物線的解析式為；

（2）由題意聯(lián)立，

解得：或，

B點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

是直角三角形；

（3）存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．

過點(diǎn)作軸于則，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得則，

，

．

，

．

①若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，當(dāng)時(shí)，則，

，

，

，

，則．

把代入，

得，

整理得：，

解得：（舍去），（舍去）；

②若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，當(dāng)時(shí)，則，

，

，

，

∴，則，

把代入，得，

整理得：，

解得：（舍去），，

；

③若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，當(dāng)時(shí)，則，

同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為；

④若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，當(dāng)時(shí)，則，

同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．