Question

4．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，連結(jié)AE，OE，AE交OD于點(diǎn)F．
（1）求證：BF=3DF
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得AO=$\frac{1}{2}$AC、BO=DO，結(jié)合DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC可得四邊形AOED是平行四邊形，得OF=DF=$\frac{1}{2}$OD，即可得答案；
（2）由正方形和平行四邊形性質(zhì)得AO=$\sqrt{2}$、OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)勾股定理求得AF，由AE=2AF即可得答案．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AO=$\frac{1}{2}$AC．
∵DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=AC，
∵DE∥AC，
∴四邊形AOED是平行四邊形，
∴OF=DF=$\frac{1}{2}$OD，
又∵BO=DO，
∴BF=3DF；

（2）∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴AO=DO=$\sqrt{2}$，
∵OF=DF=$\frac{1}{2}$OD，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{A{O}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵四邊形AOED是平行四邊形，
∴AE=2AF=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．