【題目】如圖(1),將線段AB繞點A逆時針旋轉2α(0°α90°)至AC,P是過A,B,C的三點圓上任意一點.

(1)當α=30°時,如圖(1),求證:PC=PA+PB;

(2)當α=45°時,如圖(2),PA,PB,PC三條線段間是否還具有上述數(shù)量關系?若有,請說明理由;若不具有,請?zhí)剿魉鼈兊臄?shù)量關系.

【答案】(1)證明詳見解析;(2)PC=PA+PB,理由詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)首先在PC上截取PD=PA,易知ABC是等邊三角形,可得PAD是等邊三角形,繼而可證明ACD≌△BAP,則CD=PB,從而得出PC=PB+PA;

(2)PC=PA+PB,作ADAP與PC交于一點D,易證ACD≌△ABP,則CD=PB,AD=AP,根據(jù)勾股定理PD=PA,所以PC=PA+PB.

試題解析:證明:(1)如圖(1),在PA上截取PD=PA,

AB=AC,CAB=60°,

∴△ABC為等邊三角形,

∴∠APC=CPB=60°,

∴△APD為等邊三角形,

AP=AD=PD,

∴∠ADC=APB=120°,

ACD和ABP中,

ADC=APB,ACD=ABP,AD=AP,

∴△ACD≌△ABP(AAS),

CD=PB,

PC=PD+DC,

PC=PA+PB;

(2)PC=PA+PB,;理由如下:

如圖(2),作ADAP與PC交于一點D,

∵∠BAC=90°,

∴∠CAD=BAP,

ACD和ABP中,

CAD=BAP,AC=AB,ACD=ABP,

∴△ACD≌△ABP,

CD=PB,AD=AP,

根據(jù)勾股定理PD=PA,

PC=PD+CD=PA+PB.

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