Question

如圖△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是角平分線，則△DBC的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專題：

分析：根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理，可以求得∠ABC=∠ACB=72°，根據(jù)角平分線定義，可得∠BCD=∠ACD=36°；根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，得△DBC∽△BCA，則相似三角形的面積比是相似比的平方．設(shè)AB=x，BC=y，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，則AD=CD=BC=y，則BD=x-y．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得y：x的值，即可得出答案．

解答：解：設(shè)AB=x，BC=y．
∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵CD是角平分線，
∴∠BCD=∠ACD=36°．
∴AD=CD=BC=y，
∴BD=x-y．
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，
∴△DBC∽△ABC．
∴

AB

BC

=

BC

BD

．
即

x

y

=

y

x-y

，
x²-xy-y²=0，
x=

1± 5

2

y（負(fù)值舍去）．
即

y

x

=

5 -1

2

，
則△DBC的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比值是

y

x

=

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了黃金分割，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，得到兩個(gè)相似三角形的相似比是本題的關(guān)鍵．