Question

如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，求證：

1

CE

+

1

BF

=

3

AB

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作輔助線構(gòu)造出兩對(duì)相似三角形，分別求出

1

CE

、

1

BF

與等邊△ABC的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，經(jīng)化簡(jiǎn)運(yùn)算問(wèn)題即可解決．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D分別作DG∥BM，DK∥NC，交BC與點(diǎn)G、K；
則∠DGK=∠ABC，∠DKG=∠ACB；
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC（設(shè)為a），∠ABC=∠ACB=60°，
故∠DKG=∠DKG=60°，△DGK是等邊三角形；
∴DG=GK=DK；
∵DM∥BG，DG∥BM，
∴四邊形DMBG是平行四邊形，DG=BM；而點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，
∴GK=DK=DG=BM=

1

2

a．
∵DK∥NC，
∴

DK

CE

=

BK

BC

，

1

CE

=

BK

BC•DK

；
同理可求：

1

BF

=

CG

BC•DG

，故

1

CE

+

1

BF

=

BK

BC•DK

+

CG

BC•DG

∵DG=DK=

1

2

a，BC=a，
∴

1

CE

+

1

BF

=

2(BK+CG)

a2

；
又∵BK+CG=（BK+CK）+GK=a+

1

2

a=

3

2

a，
∴

1

CE

+

1

BF

=

3a

a2

=

3

a

，
即

1

CE

+

1

BF

=

3

AB

點(diǎn)評(píng)：考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是首先構(gòu)造出兩對(duì)相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)列出有關(guān)比例式化簡(jiǎn)運(yùn)算．