Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且PC=AC，∠PCA=120°—．

（1）用含的代數(shù)式表示∠APC，得∠APC =______；

（2）求證：∠BAP=∠PCB；

（3）求∠PBC的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）∠APC．    

   （2）證明：如圖5． 

∵CA=CP，

        ∴∠1=∠2=．

        ∴∠3=∠BAC－∠1==．

        ∵AB=AC，

        ∴∠ABC=∠ACB==．

        ∴∠4=∠ACB－∠5==．

        ∴∠3=∠4．

        即∠BAP=∠PCB．                       

 

（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，連接PM（如圖6）．

       

        ∵PC=AC，AB=AC，

        ∴PC=AB．

       

 

        在△ABP和△CPM中，

           AB=CP，

           ∠3=∠4，

           AP=CM，

∴△ABP≌△CPM．

        ∴∠6=∠7， BP=PM．

        ∴∠8=∠9．

        ∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，

∴∠ABC－∠8=∠9－∠4．

        即（）－∠8=∠9－（）．

        ∴ ∠8＋∠9=．

        ∴2∠8=．

        ∴∠8=．

        即∠PBC=．                         

解法二：作點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N，

連接PN、AN、BN和CN（如圖7）． 

則△PBC和△NBC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱．

∴△PBC≌△NBC．

∴BP=BN，CP=CN，

∠4=∠6=，∠7=∠8．

∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6

==．

∵PC=AC，

        ∴AC=NC．

        ∴△CAN為等邊三角形．

        ∴AN=AC，∠NAC=．

        ∵AB=AC，

∴AN=AB．

∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（）－=，

∴∠PAN=∠3．

        在△ABP和△ANP中，

           AB=AN，

           ∠3=∠PAN，

           AP=AP，

∴△ABP≌△ANP．

        ∴PB=PN．

        ∴△PBN為等邊三角形．

        ∴∠PBN=．

        ∴∠7=∠PBN =．

即∠PBC=．              

【解析】(1)由PC=AC，根據(jù)等腰三角形的特征即可表示出∠APC；

（2）根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和可分別用含代數(shù)式表示出∠BAP與∠PCB即可得到結(jié)果；

（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，連接PM（如圖6）

先得到△ABP≌△CPM，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等推出含的方程即可求出∠PBC。

解法二：作點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接PN、AN、BN和CN（如圖7）．

根據(jù)對(duì)稱性可得△PBC≌△NBC，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可推出△CAN為等邊三角形，從而得到△ABP≌△ANP，推出△PBN為等邊三角形，即可求出∠PBC。