Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F。

⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)：

①通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；

②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；

⑵請(qǐng)你證明上述兩種猜想？

Answer 1

【答案】⑴①DE=EF；②NE=BF；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖形可以得到DE=EF，NE=BF；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)及N，E分別為AD，AB的中點(diǎn)可得DN=EB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根據(jù)同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結(jié)論.

試題解析：

⑴①DE=EF；②NE=BF。

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點(diǎn)，

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE

∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°∠BEF+∠DEA=90°

∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴ DE=EF，NE=BF