【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為M(﹣2,﹣4),與x軸交于A、B兩點,且A(﹣6,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P,使△APC的面積最大?若能,請求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k,
∵函數(shù)圖象頂點為M(﹣2,﹣4),
∴y=a(x+2)2﹣4,
又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點A(﹣6,0),
∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a= ,
∴此函數(shù)的解析式為y= (x+2)2﹣4,
即y= x2+x﹣3
(2)解:∵點C是函數(shù)y= x2+x﹣3的圖象與y軸的交點,
∴點C的坐標是(0,﹣3),
又當y=0時,有y= x2+x﹣3=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴點B的坐標是(2,0),
則S△ABC= |AB||OC|= ×8×3=12
(3)解:假設(shè)存在這樣的點,過點P作PE⊥x軸于點E,交AC于點F.
設(shè)E(x,0),則P(x, x2+x﹣3),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵直線AC過點A(﹣6,0),C(0,﹣3),
∴ ,解得 ,
∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3,
∴點F的坐標為F(x,﹣ x﹣3),
則|PF|=﹣ x﹣3﹣( x2+x﹣3)=﹣ x2﹣ x,
∴S△APC=S△APF+S△CPF= |PF||AE|+ |PF||OE|
= |PF||OA|= (﹣ x2﹣ x)×6=﹣ x2﹣ x=﹣ (x+3)2+ ,
∴當x=﹣3時,S△APC有最大值 ,此時點P的坐標是P(﹣3,﹣ )
【解析】根據(jù)頂點坐標公式即可求得a、b、c的值,即可解題;
易求得點B、C的坐標,即可求得OC的長,即可求得△ABC的面積,即可解題;
作PE⊥x軸于點E,交AC于點F,可將△APC的面積轉(zhuǎn)化為△AFP和△CFP的面積之和,而這兩個三角形有共同的底PF,這一個底上的高的和又恰好是A、C兩點間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x,0),則可用x來表示△APC的面積,得到關(guān)于x的一個二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.
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【題目】如圖,正比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點,一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點,與軸的交點為,與軸的交點為.
(1)求一次函數(shù)的表達式;
(2)二元一次方程組的解為________________;
(3)當與同時成立時,的取值范圍為__________;
(4)求的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】A,B兩地被大山阻隔,若要從A地到B地,只能沿著如圖所示的公路先從A地到C地,再由C地到B地.現(xiàn)計劃開鑿隧道A,B兩地直線貫通,經(jīng)測量得:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=20km,求隧道開通后與隧道開通前相比,從A地到B地的路程將縮短多少?(結(jié)果精確到0.1km,參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖象有公共點A(1,a)、D(﹣2,﹣1).直線l與x軸垂直于點N(3,0),與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別交于點B、C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象回答,x在什么范圍內(nèi),一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值;
(3)求△ABC的面積.
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【題目】某開發(fā)公司生產(chǎn)的 960 件新產(chǎn)品需要精加工后,才能投放市場,現(xiàn)甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品,已知甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用 20 天,而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的,公司需付甲工廠加工費用為每天 80 元,乙工廠加工費用為每天 120 元.
(1)甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品?
(2)公司制定產(chǎn)品加工方案如下:可以由每個廠家單獨完成,也可以由兩個廠家合作完成.在加工過程中,公司派一名工程師每天到廠進行技術(shù)指導(dǎo),并負擔每天 15 元的午餐補助費, 請你幫公司選擇一種既省時又省錢的加工方案,并說明理由.
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【題目】某校在“漢字聽寫”大賽中,準備一次性購買若干鋼筆和筆記本(每支鋼筆的價格相同,每本筆記本的價格相同)作為優(yōu)勝者的獎品,已知購買3支鋼筆和4本筆記本共需88元,購買4支鋼筆和5本筆記本共需114元.
(1)求購買一支鋼筆和一本筆記本各需多少元?
(2)學校準備購買鋼筆和筆記本共80件獎品,根據(jù)規(guī)定購買的總費用不能超過1200元,求最多可以購買多少支鋼筆?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形.延長AB與DC相交于點G,AO⊥CD,垂足為E,連接BD,∠GBC=50°,則∠DBC的度數(shù)為( )
A.50°
B.60°
C.80°
D.90°
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