Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與邊AC交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．

（1）證明：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑R=5，tanA=，求線段CD的長．

　

Answer 1

【考點】切線的判定．

【分析】（1）首先連接OD，由∠BDE=∠A，易得∠ODA=∠BDE，又由AB為直徑，可得∠ADB=90°，繼而求得∠ODE=90°，則可證得：DE是⊙O的切線．

（2）在Rt△ABC中，可得tanA==，則可求得BC的長，然后由勾股定理求得AC的長，易證得△BCD∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

【解答】（1）證明：連接OD．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A．

又∵∠BDE=∠A，

∴∠ODA=∠BDE．

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=90°．

即∠ODA+∠ODB=90°．

∴∠BDE+∠ODB=90°．

∴∠ODE=90°．

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵R=5，

∴AB=10．

在Rt△ABC中，

∵tanA==，

∴BC=AB•tanA=10×=，

∴AC==，

∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，

∴△BCD∽△ACB．

∴，

∴CD==．

【點評】此題考查了切線的性質與判定、勾股定理以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．