Question

如圖，在正方形ABCD中，過B作一直線與CD相交于點E，過A作AF垂直BE于點F，過C作CG垂直BE于點G，在FA上截取FH=FB，再過H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為　　　　　　．

　

Answer 1

　9　．

【考點】正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】綜合題．

【分析】由ABCD為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又根據(jù)CG與BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°，根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，又根據(jù)一對直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG與三角形FBA全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF與BG相等，又因為FH=FB，從而得到AH=FG，然后由垂直得到一對直角相等，加上一個公共角，得到三角形APH與三角形ABF相似，根據(jù)相似得比例，設(shè)AH=FG=x，用x表示出PH，由四邊形PHFB一組對邊平行，另一組對邊不平行得到此四邊形為梯形，根據(jù)梯形的面積公式，由上底PH，下底為BF=3，高FH=3，表示出梯形的面積；然后在三角形BCG與三角形ECG中，根據(jù)同角的余角相等，再加上一對直角得到兩三角形相似，根據(jù)相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG=3，利用表示出的GE，利用三角形的面積公式表示出直角三角形CGE的面積，把表示出的兩面積相加，化簡即可得到值．

【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，

又CG⊥BE，即∠BGC=90°，

∴∠BCG+∠CBG=90°，

∴∠ABF=∠BCG，

又AF⊥BG，

∴∠AFB=∠BGC=90°，

∴△ABF≌△BCG，

∴AF=BG，BF=CG=FH=3，

又∵FH=BF，

∴AH=FG，設(shè)AH=FG=x，

∵PH⊥AF，BF⊥AF，

∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH為公共角，

∴△APH∽△ABF，

∴=，即PH=，

∵PH∥BF，BP不平行FH，

∴四邊形BFHP為梯形，其面積為=+；

又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，

∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，

∴△BCG∽△CEG，

∴=，即GE=，故Rt△CGE的面積為×3×，

則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為++=+=9．

故答案為：9

【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，此題的綜合性比較強，常常綜合了多個考點和數(shù)學(xué)思想方法，因而解答時需“分解題意”，即將一個大問題分解為一個一個的小問題，從而解決問題．