Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形， M為三角形外任意一點，把△ABM繞著點A按逆時針方向旋轉60°到△CAN的位置.

(1)如圖①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度數(shù)和求AM的長.

(2)如圖②，若∠BMC = n°，試寫出AM、BM、CM之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）60°,5;（2）AM=BM+CM

【解析】

（1）由旋轉性質可得△ABM≌△CAN，根據(jù)全等三角形的性質和等邊三角形的判定可得△AMN是等邊三角形,繼而求出∠AMN=60°，根據(jù)∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，繼而求出∠AMB；AM =MN= MC+ CN.

（2）

解∵把△ABM繞著點A按逆時針方向旋轉60到△ACN的位置，

所以∠NAM=60°，

因為AN=AM，

所以△AMN是等邊三角形,

所以∠AMN=60°，

因為∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，

所以∠AMB=∠BMG-∠AMG=120°-60°=60°，

∵把△ABM繞著點A按逆時針方向旋轉60°到△ACN的位置，

所以△ABM≌△CAN,

所以BM=CN=2，

△AMN是等邊三角形

AM =MN= MC+ CN= 3+2=5,

故答案為60°,5;

（2）AM=BM+CM,

∵把△ABM繞著點A按逆時針方向旋轉60°到△ACN的位置，

所以△ABM≌△CAN,

因為AN=AM，

所以△AMN是等邊三角形,

所以∠AMN=60°，

因為∠BMC=n°,∠AMN=∠AMC=60°，

所以∠MNA=∠MAN，

所以MA=MN，

所以AM=BM+CM.