Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-3，0），（0，6），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．以CP，CO為鄰邊構(gòu)造□PCOD．在線段OP延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)E，且滿足PE=AO．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{3}{2}$秒時(shí)，求此時(shí)四邊形ADEC的周長(zhǎng)是多少？

Answer 1

分析 （1）連接CD交AE于F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CF=DP，OF=PF，根據(jù)題意得到AF=EF，又CF=DP，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)題意計(jì)算出OC、OP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AC、CE，根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接CD交AE于F，
∵四邊形PCOD是平行四邊形，
∴CF=DF，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DP，
∴四邊形ADEC為平行四邊形；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{3}{2}$秒時(shí)，OP=$\frac{3}{2}$，OC=3，
則OE=$\frac{9}{2}$，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$，
∵四邊形ADEC為平行四邊形，
∴周長(zhǎng)為（3$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}\sqrt{13}$）×2=6$\sqrt{2}$+3$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，掌握對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵，注意坐標(biāo)與圖形的關(guān)系的應(yīng)用．