【題目】已知:如圖1.正方形ABCD,過點A作∠EAF=90°,兩邊分別交直線BC于點E,交線段CD于點F,G為AE中點,連接BG
(1)求證:△ABE≌△ADF
(2)如圖2,過點G作BG的垂線交對角線AC于點H,求證:GH=GB;
(3)如圖3,連接HF,若CH=3AH,AD=2,求線段HF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)5.
【解析】試題分析:(1)如圖1中,由△ABE≌△ADF,推出∠AFD=∠E,由AG=GE,推出GB=GE=GA,推出∠E=∠GBE=∠AFD,由∠GBE+∠GBC=180°,推出∠AFD+∠GBC=180°即可;
(2)如圖2中,連接BD交AC于O,連接OG、BH、取BH的中點K,連接GK、OK.只要證明O、H、G、B四點共圓,由AG=GE,AO=OC.推出OG∥CE,推出∠GOB=∠OBC=45°,即可解決問題;
(3)如圖3中,如圖3中,設OG交AB于T,GH交AB于P.,作HM⊥DF于M.只要證明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO,推出tan∠EAB=tan∠HBO=,由CH=3AH,OA=OC=OB,推出tan∠EAB=tan∠HBO==,BE=DF=,在RtHMF中,利用勾股定理即可解決問題.
試題解析:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠AEF=90°,
∴∠EAB=∠DAF,∵∠ABE=∠ADF=90°,∴△ABE≌△ADF,∴∠AFD=∠E,
∵AG=GE,∴GB=GE=GA,∴∠E=∠GBE=∠AFD,∵∠GBE+∠GBC=180°,∴∠AFD+∠GBC=180°;
(2)如圖2,連接BD交AC于O,連接OG、BH、取BH的中點K,連接GK、OK,
∵∠BGH=∠BOH=90°,BK=KH,∴GK=KH=OK=KB,∴O、H、G、B四點共圓,
∵AG=GE,AO=OC,∴OG∥CE,
∴∠GOB=∠OBC=45°,∴∠GOH=∠GBH=45°,∵∠BGH=90°,
∴∠GBH=∠GHB=45°, ∴GH=GB;
(3)如圖3,設OG交AB于T,GH交AB于P,作HM⊥DF于M,
∵OG∥EC,AB⊥CE,∴OG⊥AB,易證∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO,
∴tan∠EAB=tan∠HBO=,∵CH=3AH,OA=OC=OB,∴tan∠EAB=tan∠HBO==,
∵AB=AD=2,∴BE=DF=,在Rt△HMF中,易證FM=,HM=,
∴HF==5.
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【題目】觀察下列兩個等式:,,給出定義如下:我們稱使等式成立的一對有理數(shù)“,”為“共生有理數(shù)對”,記為(,).
(1)通過計算判斷數(shù)對“2,1,“4,”是不是“共生有理數(shù)對”;
(2)若(6,a)是“共生有理數(shù)對”,求a的值;
(3)若(m,n)是“共生有理數(shù)對”,則“n,m”___“共生有理數(shù)對”(填“是”或“不是”),并說明理由;
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【題目】如圖,方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點坐標為A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1).
(1)在方格紙中畫出△ABC;
(2)求出△ABC的面積;
(3)若把△ABC向上平移6個單位長度,再向左平移7個單位長度得到△A′B′C′,在圖中畫出△A′B′C′,并寫出B′的坐標.
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【題目】如圖,在矩形中, , 為上一點,且, 為的中點.下列結論:①;②;③;④.其中正確的有____________.(請把所有正確結論的序號填在橫線上)
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【題目】今年夏季山洪暴發(fā),易發(fā)生滑坡,經過地質人員勘測,當坡角不超過時,可以確保山體不滑坡.某中學緊挨一座山體斜坡,如圖所示,已知,斜坡長30米,坡角,為保證改造后的山體不滑坡,求至少是多少米?(精確到0.1米, )
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點C作CE∥BD,過點D作DE∥AC,CE與DE相交于點E.
(1)求證:四邊形CODE是矩形.
(2)若AB=5,AC=6,求四邊形CODE的周長.
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【題目】我國西部地區(qū)約占我國國土面積的,我國國土面積約960萬平方公里。若用科學記數(shù)法表示,則我國西部地區(qū)的面積為( 。
A. 6.4×106平方公里 B. 6.4×107平方公里
C. 640×104平方公里 D. 64×105平方公里
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【題目】某數(shù)學活動小組在做角的拓展圖形練習時,經歷了如下過程:
(1)操作發(fā)現(xiàn):點為直線上一點,過點作射線,使將一直角三角板的直角頂點放在點處,一邊在射線上,另一邊在直線的下方,如圖:將圖1中的三角板繞點旋轉,當直角三角板的邊在的內部,且恰好平分時,如圖2.則下列結論正確的是 (填序號即可).
①②③平分④的平分線在直線上
(2)數(shù)學思考:同學們在操作中發(fā)現(xiàn),當三角板繞點旋轉時,如果直角三角板的邊在的內部且另一邊在直線AB的下方,那么與的差不變,請你說明理由;如果直角三角板的、邊都在的內部,那么與的和不變,請直接寫出與的和,不要求說明理由.
(3)類比探索:三角板繞點繼續(xù)旋轉,當直角三角板的邊在的內部時,如圖3,求與相差多少度?為什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】按下列要求畫圖,并回答問題.
如圖,已知∠ABC.
(1)在射線BC上戳取BD=BA,連接AD;
(2)畫∠ABD的平分線交線段AD于點M.
回答問題:線段AM和線段DM的大小關系是:AM DM.∠AMB的度數(shù)為 度.(精確到1度).
(友情提醒:截取用圓規(guī),并保留痕跡:畫完圖要下結論)
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