Question

10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，對角線AC、BD交于點G，I₁、I₂、I₃分別為△ADC、△BDC、△ABG的內(nèi)心．證明：I₃G⊥I₁I₂．

Answer 1

分析 分別連接AI₃，AI₁，DI₁，DI₂，CI₁，CI₂，延長I₃G交I₁I₂于點H，根據(jù)I₁、I₂、I₃分別為△ADC、△BDC、△ABG的內(nèi)心得到∠AI₃G=90°+$\frac{1}{2}$∠ABD，∠AI₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC，從而得到點D、I₁、I₂、C四點共圓，利用∠I₃HI₁=360°-（∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H）=90°，得到I₃G⊥I₁I₂．

解答 證明：分別連接AI₃，AI₁，DI₁，DI₂，CI₁，CI₂，
延長I₃G交I₁I₂于點H，
∵I₁、I₂、I₃分別為△ADC、△BDC、△ABG的內(nèi)心，
∴∠AI₃G=90°+$\frac{1}{2}$∠ABD，∠AI₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠DI₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠DAC，∴∠DI₂C=90°+$\frac{1}{2}$∠DBC，
∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAC+∠BAC），
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DI₁C=∠DI₂C，
∴點D、I₁、I₂、C四點共圓，
∴∠I₂I₁C=∠I₂DC=$\frac{1}{2}$∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠I₃HI₁=360°-（∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H）
∵∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H=$\frac{1}{2}$（∠DAC+∠BAC）+90°+$\frac{1}{2}$∠ABD+90°+$\frac{1}{2}$∠ADC-I₂I₁C
=180°+$\frac{1}{2}$（∠DAC+∠BAC+∠ABD+∠ADC+∠BAC）
=180°+$\frac{1}{2}$（∠ABD+∠DBC+∠ADC）
=270°，
∴∠I₃HI₁=360°-270°=90°，
∴I₃G⊥I₁I₂．

點評 本題考查了三角形的五心的知識，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造輔助線，利用院內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解，屬于難題，了解三角形的五心的性質(zhì)是解決本題的重中之重．