Question

8．如圖：已知△ABC中，∠BAD=∠C，AB=4，BD=2，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow m$．
（1）試用$\overrightarrow m$表示$\overrightarrow{DC}$；
（2）過點D作DE∥AB交AC于點E，若S_△ABD=3，求S_△CDE．

Answer 1

分析 （1）由△ABC中，∠BAD=∠C，∠B是公共角，即可判定△BAD∽△BCA，又由AB=4，BD=2，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得BC的長，繼而求得DC=3BD，即可用$\overrightarrow m$表示$\overrightarrow{DC}$；
（2）由S_△ABD=3，可求得△ABC的面積，又由DE∥AB，可判定△CDE∽△CBA，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
∵AB=4，BD=2，
∴$\frac{4}{BC}=\frac{2}{4}$，
∴BC=8，
∴CD=BC-BD=6，
∴$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{m}$；

（2）∵S_△ABD=3，
∴S_△ABC=4S_△ABD=12，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴S_△CDE：S_△ABC=（$\frac{DC}{BC}$）²=$\frac{9}{16}$，
∴S_△CDE=$\frac{9}{16}$×12=$\frac{27}{4}$．

點評 此題考查了平面向量的知識以及相似三角形的判定與性質．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，等高三角形面積的比等于其對應底的比．