Question

8．如圖，△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D在AC上，且AB=CD，DE∥AB，∠CBE+∠CDE=180°．
（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，
①求證：點(diǎn)D是AC邊中點(diǎn)；
②判斷△BCE的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，當(dāng)ABC≠90°時(shí)，（1）中②的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)驗(yàn)證；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①在Rt△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=30°，由直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB，等量代換即可得到結(jié)論；②△BCE是等邊三角形，理由：根據(jù)已知條件得到∠ADE=∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDA=∠A=60°，求得∠CBE=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ABE=30°，于是得到∠AFD=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，推出△EDF≌△BAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED=AB=CD，∠ECD=∠CED=30°，即可得到結(jié)論；
（2）結(jié)論成立，延長(zhǎng)AB到F，使AF=AC，連接CF，DF，由∠A=60°，于是得到△ACF是等邊三角形，由AB=CD，推出△ADF≌△FBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CB=DF，∠1=∠2證得DF∥BE，推出四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BE=DF=CB，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）①在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵CD=AB，
∴DC=DA
即點(diǎn)D是AC邊中點(diǎn)；
②△BCE是等邊三角形，
理由：∵∠CBE+∠CDE=180°，∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠CBE，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠A=60°，
∴∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴∠AFD=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴FD=AF，
∵∠AFB=∠EFD，
在△EDF與△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠A}\\{∠EFD=∠AFB}\\{DF=AF}\end{array}\right.$
，∴△EDF≌△BAF，
∴ED=AB=CD，
∴∠ECD=∠CED=30°，
∴∠ECB=60°=∠CEB，
∴△CEB是等邊三角形；

（2）結(jié)論成立，延長(zhǎng)AB到F，使AF=AC，連接CF，DF，
∵∠A=60°，
∴△ACF是等邊三角形，
∵AB=CD，
∴AD=BF，
在△ADF與△FBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠A=∠BFC=60°}\\{AD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△FBC，
∴CB=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠1+∠4=∠2+∠4=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠A=60°，
∴∠CBE=60°，
∴∠3=∠EBC，
∴DF∥BE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE=DF=CB，
∵∠EBC=60°，
∴△EBC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．