Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，FD是線段BC的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E，且AF=CE．
（1）求證：①△EAF≌△AEC；②四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）連結CF，當∠B滿足什么條件時，CF垂直平分AE？并說明理由．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定與性質

專題：

分析：（1）①利用線段垂直平分線的性質得出∠1=∠2=∠3，進而得出∠F=∠3=∠4=∠5，再利用AAS得出全等三角形即可；
②利用全等三角形的性質結合平行四邊形的判定得出即可；
（2）當∠B=30°時，CF垂直平分AE，利用等邊三角形的判定與性質求出即可．

解答：（1）①證明：∵FD是線段BC的垂直平分線，
∴EB=EC，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠FDB=∠ACB，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
∴CE=AE，
又∵AF=CE，
∴AF=AE，
∴∠F=∠3=∠4=∠5，
在△EAF和△AEC中

∠F=∠5 ∠3=∠4 AE=AE

，
∴△EAF≌△AEC（AAS）；

②證明：∵△EAF≌△AEC，
∴EF=AC，
∵EF∥AC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）解：當∠B=30°時，CF垂直平分AE，
理由：在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵CE=AE，
∴△EAC是等邊三角形，即AC=AE=EC，
又∵由（1）知，四邊形ACEF是平行四邊形，
∴四邊形ACEF是菱形，
∴CF垂直平分AE．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，涉及的知識點有：線段垂直平分線的性質、直角三角形和等腰三角形的性質、平行線的判定等．