Question

10．定義：y是一個關(guān)于x的函數(shù)，若對于每個實數(shù)x，函數(shù)y的值為三數(shù)x+2，2x+1，-5x+20中的最小值，則函數(shù)y叫做這三數(shù)的最小值函數(shù)．
（1）畫出這個最小值函數(shù)的圖象，并判斷點A（1，3）是否為這個最小值函數(shù)圖象上的點；
（2）設(shè)這個最小值函數(shù)圖象的最高點為B，點A（1，3），動點M（m，m）
①直接寫出△ABM的面積，其面積是2；
②若以M為圓心的圓經(jīng)過A，B兩點，寫出點M的坐標(biāo)；
③以②中的點M為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑作圓，在此圓上找一點P，使PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的值最小，直接寫出此最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三數(shù)的最小值函數(shù)的定義畫出圖象即可，根據(jù)圖象可以判斷點A的位置．
（2）①如圖2中，作ON⊥AB于N，由AB∥OM，得S_△ABM=S_△ABO由此即可判斷．
②求出線段AB的中垂線，再列出方程組即可解決問題．
③如圖3中，取BM的中點D，連接PD、PM．由PM²=2=1×2=MD•BM，推出△PMD∽△BMP，推出$\frac{PD}{PB}$=$\frac{MD}{PM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
推出PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB，推出PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=PA+PD≥AD，推出即可解決問題．

解答 解：（1）最小值函數(shù)的圖象見圖中實線，

∵x=1時，y=3，
∴點A（1，3）在這個最小值函數(shù)的圖象上．
（2）①如圖2中，作ON⊥AB于N．

∵AB∥OM，
∴S_△ABM=S_△ABO，
∵A（1，3），B（3，5），ON=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故答案為2．
②∵直線AB的解析式為y=x+2，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點M坐標(biāo)為（3，3）．

③如圖3中，取BM的中點D，連接PD、PM．

∵PM²=2=1×2=MD•BM，
∵∠PMD=∠BMP，
∴△PMD∽△BMP，
∴$\frac{PD}{PB}$=$\frac{MD}{PM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB，
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=PA+PD≥AD，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB≥5，
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的最小值為5．

點評 本題考查圓的綜合題、一次函數(shù)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考壓軸題．