Question

15．定義：長寬比為$\sqrt{n}$：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為$\sqrt{n}$矩形．
（1）如圖1所示，將一張矩形紙片ABCD進行如下操作：將點C沿著過點D的直線折疊，使折疊后的點C落在邊AD上的點E處，折痕為DF，通過測量發(fā)現(xiàn)DF=AD，則矩形ABCD是$\sqrt{2}$矩形嗎？請說明理由．
（2）我們可以通過折疊的方式折出一個$\sqrt{2}$矩形，如圖2所示．操作1：將正方形ABCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH．操作2：將AD沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF．所得四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是$\sqrt{2}$矩形的定義，只要證明AD=$\sqrt{2}$CD即可．
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，求出BF的長即可解決問題．

解答 解：（1）四邊形ABCD是$\sqrt{2}$矩形．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠EDC=∠DEF=∠C=90°，
∵DE=DC，
∴四邊形CDEF是正方形．
∴DF=$\sqrt{2}$DC，∵AD=DF
∴AD=$\sqrt{2}$DC，
∴矩形ABCD是$\sqrt{2}$矩形．
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則$BD=\sqrt{2}$．
由折疊性質(zhì)可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，則四邊形BCEF為矩形．
∴∠A=∠BFE，
∴EF∥AD，
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{BF}{1}$，
∴BF=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
∴BC：BF=1：$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$：1，
∴四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形．

點評 本題考查矩形、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，欲證明四邊形是$\sqrt{2}$矩形，只要證明這個四邊形的長、寬之比為$\sqrt{2}$，屬于中考�？碱}型．