Question

已知Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=

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，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，設(shè)△ABC移動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)△ABC的邊AC與圓第一次相切時(shí)，求t的值；
（2）若在△ABC移動(dòng)的同時(shí)，圓O也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則△ABC從開始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切時(shí)，求t的值；
（3）在（2）的條件下的移動(dòng)過程中，圓心O到AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d，當(dāng)d＜1時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠A=30°，∠ACB=60°，作OD⊥直線BC，則OD=1，當(dāng)△ABC的邊AC與圓第一次相切時(shí)，如圖1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′與⊙O相切，作OE⊥A′C′，連接OC′，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠OC′D=60°，在Rt△ODC′中計(jì)算出C′D=

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3

，然后利用線段之間的關(guān)系得到2t+1+

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3

=5，再解一次方程即可；
（2）如圖2，△ABC從開始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′與⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切線的性質(zhì)得O′Q=1，則D′B′=1，然后利用線段之間的關(guān)系得到5+t+1=2t，再解一次方程即可；
（3）利用直線AC與圓兩次相切的時(shí)間確定d＜1時(shí)，t的范圍：當(dāng)△ABC平移到△A₁B₁C₁的位置，A₁C₁與⊙O相切，d=1，如圖3，由（1）得C₁D=

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，則DB₁=DD′-B₁C₁-C₁D′=t-1-

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3

，利用線段之間的關(guān)系得5+t-1-

3

3

=2t，得到此時(shí)t=4-

3

3

；當(dāng)△ABC平移到△A₂B₂C₂的位置，A₂C₂與⊙O相切，d=1，如圖3，作O′H⊥A₂C₂于H，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠O′C₂D′=30°，則C₂D′=

3

O′D′=

3

，利用線段之間的關(guān)系得4+t+

3

=2t，得到此時(shí)t=4+

3

，于是當(dāng)d＜1時(shí)，t的取值范圍為4-

3

3

＜t＜4+

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．

解答：解：（1）∵AB=

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，BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=

AB2+BC2

=2，
∴∠A=30°，∠ACB=60°，
作OD⊥直線BC，則OD=1，
當(dāng)△ABC的邊AC與圓第一次相切時(shí)，如圖1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′與⊙O相切，作OE⊥A′C′，連接OC′，則OC′平分∠DC′E，
∵∠A′C′B′=∠ACB=60°，
∴∠OC′D=60°，
在Rt△ODC′中，∵OD=1，∠DOC′=30°，
∴C′D=

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3

，
∵BB′=2t，B′C′=BC=1，BD=5，
∴2t+1+

3

3

=5，
∴t=2-

3

6

；
（2）如圖2，△ABC從開始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′與⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，
則O′Q=1，
∴D′B′=1，
∵BD=5，DD′=t，BB′=2t，
∴5+t+1=2t，
∴t=6；
（3）當(dāng)△ABC平移到△A₁B₁C₁的位置，A₁C₁與⊙O相切，d=1，如圖3，由（1）得C₁D=

3

3

，
∵BD=5，DD′=t，BB₁=2t，
∴DB₁=DD′-B₁C₁-C₁D′=t-1-

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3

，
∴5+t-1-

3

3

=2t，
∴t=4-

3

3

；
當(dāng)△ABC平移到△A₂B₂C₂的位置，A₂C₂與⊙O相切，d=1，如圖3，
作O′H⊥A₂C₂于H，
∵O′C₂平分∠A₂C₂B₂，
∴∠O′C₂D′=30°，
∴C₂D′=

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O′D′=

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，
∵CD+DD′+D′C₂=CC₂，
∴4+t+

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=2t，
∴t=4+

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，
∴當(dāng)d＜1時(shí)，t的取值范圍為4-

3

3

＜t＜4+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和切線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系；會(huì)利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；會(huì)應(yīng)用一元一次方程解決幾何計(jì)算問題．