【題目】探索研究:已知:△ABC和△CDE都是等邊三角形.
(1)如圖1,若點A、C、E在一條直線上時,我們可以得到結論:線段AD與BE的數(shù)量關系為: ,線段AD與BE所成的銳角度數(shù)為 °;
(2)如圖2,當點A、C、E不在一條直線上時,請證明(1)中的結論仍然成立;
靈活運用:
如圖3,某廣場是一個四邊形區(qū)域ABCD,現(xiàn)測得:AB=60m,BC=80m,且∠ABC=30°,∠DAC=∠DCA=60°,試求水池兩旁B、D兩點之間的距離.
【答案】(1)AD=BE,60;(2)證明見解析;(3)水池兩旁B、D兩點之間的距離為100m.
【解析】
試題(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,然后求出∠ACD=∠BCE,再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BE,根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ADC=∠BEC,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠DPE=∠DCE;(2)證明△ACD≌△BCE(SAS),得到AD=BE,∠DAC=∠EBC,根據(jù)∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC,即可解答.(3)如圖3,以AB為邊在△ABC外側作等邊△ABE,連接CE,由(2)可得:BD=CE,證明△EBC是直角三角形,利用勾股定理求出CE的長度,即可解答.
試題解析:(1)∵△ABC和△CDE都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,
由三角形的外角性質(zhì),∠DPE=∠PEA+∠DAC,∠DCE=∠ADC+∠DAC,
∴∠DPE=∠DCE=60°;
故答案為:相等,60;
(2)∵△ABC和△CDE都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠DAC=∠EBC,
∴∠BPA=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°
(3)如圖3,以AB為邊在△ABC外側作等邊△ABE,連接CE.
由(2)可得:BD=CE
∴∠EBC=60°+30°=90°,
∴△EBC是直角三角形
∵EB=60m BC=80m,
∴CE==100(m).
∴水池兩旁B、D兩點之間的距離為100m.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點,AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,且AC平分∠PAE,過C作CD⊥PA,垂足為D.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直徑為10,求AB的長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得四邊形PAOC的周長最。咳舸嬖,求出四邊形PAOC周長的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖②,點Q是線段OB上一動點,連接BC,在線段BC上是否存在這樣的點M,使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形?若存在,求點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】(本題滿分10分)在ABCD中,AC、BD交于點O,過點O作直線EF、GH,分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點,連結EG、GF、FH、HE.
(1)如圖①,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由;
(2)如圖②,當EF⊥GH時,四邊形EGFH的形狀是 ;
(3)如圖③,在(2)的條件下,若AC=BD,四邊形EGFH的形狀是 ;
(4)如圖④,在(3)的條件下,若AC⊥BD,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(-1,0),(3,0),現(xiàn)同時將點A,B分別向上平移2個單位長度,再向右平移1個單位長度,得到A,B的對應點C,D,連接AC,BD,CD.
(1)直接寫出點C,D的坐標,求出四邊形ABDC的面積;
(2)在x軸上是否存在一點F,使得三角形DFC的面積是三角形DFB面積的2倍,若存在,請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,將一矩形OABC放在直角坐標系中,O為坐標原點,點A在y軸正半軸上,點E是邊AB上的一個動點(不與點A、B重合),過點E的反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象與邊BC交與點F.
(1)若△OAE、△OCF的面積分別為S1、S2 , 且S1+S2=2,求k的值;
(2)在(1)的結論下,當OA=2,OC=4時,求三角形OEF的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是BC邊上一點,且BE:EC=2:1,AE與BD交于點F,則△AFD與四邊形DFEC的面積之比是 .
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