Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求證：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

解：如圖，
將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，
∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE為等邊三角形，
∴DB=BE，
又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE
=360°-∠BCD-∠A
=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）
=60°+30°
=90°，
∴△ECB為直角三角形，
∴EC²+BC²=BE²，
∴BD²=AB²+BC²．
分析：將△ADB以D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使A與C點(diǎn)重合，B與E點(diǎn)重合，連接BE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE為等邊三角形，則DB=BE，根據(jù)周角的定義和四邊形內(nèi)角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，則△ECB為直角三角形，根據(jù)勾股定理得EC²+BC²=BE²，利用等線段代換即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．