Question

如圖，拋物線y=－x²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，
(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)求△ABD的面積；
(3)將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+2x+3；（2）8；（3）點(diǎn)G不在該拋物線上．

試題分析：（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，以AB為底、D點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值為高，可求出△ABD的面積．
（3）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行判定即可．
（1）∵四邊形OCEF為矩形，OF=2，EF=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．
把x=0，y=3；x=2，y=3分別代入y=-x²+bx+c中，
得，
解得，
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），
∴△ABD中AB邊的高為4，
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以AB=3-（-1）=4，
∴△ABD的面積=×4×4=8；
（3）△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，CO落在CE所在的直線上，由（2）可知OA=1，
∴點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，2），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-3²+2×3+3=0≠2，所以點(diǎn)G不在該拋物線上．