Question

4．如圖，將△ABC沿角平分線BD所在直線翻折，頂點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E處，AE=BD，那么tan∠ABD=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作CM⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于M，作DN⊥AB于N，DF⊥BC于F，AE與BD交于點(diǎn)K，設(shè)DK=a，先證明AD：CD=1：2，再證明△BKE≌△CME，得BK=CM=3a，根據(jù)tan∠ABD=$\frac{AK}{BK}$即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作CM⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于M，作DN⊥AB于N，DF⊥BC于F，AE與BD交于點(diǎn)K，設(shè)DK=a．
∵AB=BE=EC，
∴BC=2AB，
∵DB平分∠ABC，
∴DN=DF，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DF}{\frac{1}{2}•CB•DF}$=$\frac{AD}{DC}$，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∵DB⊥AM，CM⊥AM，
∴DK∥CM，
∴$\frac{DK}{CM}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，∠KBE=∠MCE，
∴CM=3a，
在△BKE和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KBE=∠MCE}\\{∠BEK=∠CEM}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BKE≌△CME，
∴BK=CM=3a，
∴BD=AE=4a，
∴AK=KE=2a，
∴tan∠ABD=$\frac{AK}{BK}$=$\frac{2a}{3a}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$．
補(bǔ)充方法：取DC的中點(diǎn)P，連接EP，利用三角形的中位線，可以證明BK=3DK，根據(jù)AK=$\frac{1}{2}$BD，
根據(jù)tan∠ABD=$\frac{AK}{BK}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)AD：DC=1：2這個(gè)條件，學(xué)會(huì)常用輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．