Question

如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP′=AP，P′B=PC，∠PAP′=60°，然后判定△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠APP′=60°，PP′=PA，再利用勾股定理逆定理求出△BPP′是直角三角形并得到∠BPP′=90°，然后根據(jù)∠APB=∠APP′+∠BPP′代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′B，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AP′=AP，P′B=PC=10，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′²+PB²=6²+8²=100=P′B²，
∴△BPP′是直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°，
故∠APB的度數(shù)是150°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．