Question

18．如圖，在菱形ABCD中，∠A=130°．E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．則∠FPC=115°．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)PF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．根據(jù)已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到∠EPF的度數(shù)，從而不難求得∠FPM的度數(shù)，即可求出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠GBF=∠PCF，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF，AE=BE，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PE⊥CD，
∴∠BEP=∠EPC=∠EPM=90°，
延長(zhǎng)PF交AB于點(diǎn)G，
在△BGF與△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠PCF}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFP}\end{array}\right.$
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F為PG中點(diǎn)，
又∵EP⊥CD，
∴∠BEP=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$PG（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∵PF=$\frac{1}{2}$PG（中點(diǎn)定義），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPM=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPM-∠EPF，即∠BEF=∠FPM，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=50°，
∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，
∴∠FPM=65°，
∴∠FPC=180°-65°=115°，
故答案為：115°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用，靈活應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)邊平行，菱形的四條邊相等．