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【題目】函數y=x2+bx+c的圖像與x 軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,OB=OC.點D在函數圖像上,CD//x軸,且CD=2,直線l 是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點.

(1)求b、c 的值;

(2)如圖,連接BE,線段OC 上的點F 關于直線l 的對稱點F 恰好在線段BE上,求點F的坐標;

(3)如圖,動點P在線段OB上,過點P x 軸的垂線分別與BC交于點M,與拋物線交于點N.試問:拋物線上是否存在點Q,使得△PQN△APM的面積相等,且線段NQ的長度最?如果存在,求出點Q的坐標;如果不存在,說明理由.

【答案】(1)c=-3;(2)點F的坐標為(0,-2);(3)滿足題意的點Q的坐標為(,)和(,)

【解析】

1)由條件可求得拋物線對稱軸,則可求得b的值;OB=OC,可用c表示出B點坐標,代入拋物線解析式可求得c的值;

2)可設F0,m),則可表示出F的坐標B、E的坐標可求得直線BE的解析式,F坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程,可求得F點的坐標;

3)設點P坐標為(n,0),可表示出PA、PB、PN的長QRPN,垂足為R,則可求得QR的長n可表示出Q、R、N的坐標.在RtQRN由勾股定理可得到關于n的二次函數,利用二次函數的性質可知其取得最小值時n的值,則可求得Q點的坐標

1CDx,CD=2,∴拋物線對稱軸為x=1,

OB=OC,C0,c),B點的坐標為(﹣c,0),0=c2+2c+c,解得c=﹣3c=0(舍去),c=﹣3;

2)設點F的坐標為(0,m).

∵對稱軸為直線x=1,∴點F關于直線l的對稱點F的坐標為(2m).

由(1)可知拋物線解析式為y=x22x3=(x124,E1,﹣4).

∵直線BE經過點B30),E1,﹣4),∴利用待定系數法可得直線BE的表達式為y=2x6

∵點FBEm=2×26=﹣2,即點F的坐標為(0,﹣2);

3)存在點Q滿足題意

設點P坐標為(n,0),PA=n+1,PB=PM=3n,PN=﹣n2+2n+3

QRPN,垂足為R

SPQN=SAPM,,QR=1

分兩種情況討論:

①點Q在直線PN的左側時,Q點的坐標為(n1,n24n),R點的坐標為(n,n24n),N點的坐標為(nn22n3),∴在RtQRN,NQ2=1+2n32,NQ取最小值1.此時Q點的坐標為

②點Q在直線PN的右側時,Q點的坐標為(n+1n24).

同理,NQ2=1+2n12,,NQ取最小值1.此時Q點的坐標為

綜上可知存在滿足題意的點Q,其坐標為

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平均分(分)

中位數(分)

眾數(分)

方差(分2

初中部

a

85

b

s初中2

高中部

85

c

100

160

(1)根據圖示計算出a、b、c的值;

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