Question

如圖，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復(fù)同一過程，第一個正方形的邊長為1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S₂，…，第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和為S_n，猜想出S_n與n的關(guān)系

 

．

Answer 1

分析：觀察圖形，分別求得每個正方形的邊長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)其規(guī)律解題即可．

解答：解：可以發(fā)現(xiàn)，第一個正方形的邊長為1，第2個正方形的邊長為（

2

2

）¹=

2

2

，第3個正方形的邊長為（

2

2

）²=

1

2

，第n個正方形的邊長為（

2

2

）^（n-1）∴第n個正方形的面積=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，則第n個等腰直角三角形的面積為：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
∴S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

=

5

2 n+1

，
故答案為：S=

5

2 n+1

．

點評：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角邊長是斜邊長的

2

2

倍，及正方形的面積公式求解．找到第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1是解題的關(guān)鍵．