Question

11．已知：拋物線C₁：y=2x²+bx+6與拋物線C₂關(guān)于y軸對稱，拋物線C₁與x軸分別交于點A（-3，0），B（m，0），頂點為M．
（1）求b和m的值；
（2）求拋物線C₂的解析式；
（3）在x軸，y軸上分別有點P（t，0），Q（0，-2t），其中t＞0，當(dāng)線段PQ與拋物線C₂有且只有一個公共點時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0）代入y=2x²+bx+6，即可求得b的值，從而求得解析式，令y=0，j解方程即可求得m的值；
（2）根據(jù)C₁：y=2x²+8x+6=2（x+2）²-2，求得頂點M（-2，-2），即可求得點M關(guān)于y軸的對稱點N（2，-2），由于a的值不變，根據(jù)頂點得出C₂：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6；
（3）根據(jù)P、Q的坐標(biāo)求得直線PQ的解析式，然后分三種情況討論求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=2x²+bx+6過點 A（-3，0），
∴0=18-3b+6，
∴b=8，
∴C₁：y=2x²+8x+6，
令y=0，則2x²+8x+6=0，
解得x₁=-3，x₂=-1
∴m=-1；
（2）∵C₁：y=2x²+8x+6=2（x+2）²-2，
∴M（-2，-2），
∴點M關(guān)于y軸的對稱點N（2，-2），
∴C₂：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6，
（3）由題意，點A（-3，0）與D，點B（-1，0）與C關(guān)于y軸對稱，
∴D（3，0），C（1，0），
∵P（t，0），Q（0，-2t），
∴PQ：y=2x-2t，
當(dāng)PQ過點C時，即P與C重合時，t=1，
當(dāng)PQ過點D時，即P與D重合時，t=3，
當(dāng)直線PQ與拋物線C₂有且僅有一個公共點時，即方程2x²-8x+6=2x-2t中△=0，
方程整理得x²-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0，
解得t=$\frac{13}{4}$．
綜上，由圖得，當(dāng)1≤t＜3或t=$\frac{13}{4}$時，PQ與拋物線C₂有且僅有一個公共點．

點評 本題主要考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與幾何變換，解一元二次方程，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．