Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=21cm，BC=24cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊AD向D運動，另一動點Q同時從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊CB向點B運動，其中一動點達到端點時，另一動點隨之停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．問：
（1）經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD為平行四邊形？
（2）經(jīng)過多少時間，四邊形PQBA為矩形？
（3）經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD為等腰梯形？

Answer 1

考點：等腰梯形的判定,平行四邊形的判定,矩形的判定

專題：動點型

分析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形，即CQ=PD，列出方程求解即可；
（2）四邊形PQCD為矩形，即AP=BQ，列出方程求解即可；
（3）四邊形PQCD為等腰梯形，即CD=PQ，作梯形PQCD的高DE，PF，根據(jù)QC-PD=2CE列出方程求解即可．

解答：解：設(shè)運動時間為t秒，
∴AP=tcm，PD=AD-AP=（21-t）cm，CQ=2tcm，BQ=BC-CQ=（24-2t）cm．
（1）∵AD∥BC，
∴當(dāng)CQ=PD時，四邊形PQCD是平行四邊形．
此時有2t=21-t，
解得t=7．
∴當(dāng)t=7s時，四邊形PQCD是平行四邊形；

（2）∵AD∥BC，
∴當(dāng)PA=BQ時，四邊形PQBA是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形PQBA是矩形，
即t=24-2t，
解得：t=8，
∴t=8s時，四邊形PQBA是矩形；

（3）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，如圖所示：
在Rt△PQF和Rt△DCE中，

PQ=DC PF=DE

，
∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+CE=2CE，即2t-（21-t）=6，
解得：t=9．
即當(dāng)t=9s時，四邊形PQCD為等腰梯形．

點評：此題主要考查了矩形、平行四邊形的判定，等腰梯形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．