Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠B的平分線，交AC于點(diǎn)D，E是AB中點(diǎn)，ED交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：AB=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC=∠ACB=72°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠1=∠2=36°，可得DA與DB的關(guān)系，根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，可得FA與FB的關(guān)系，可得∠FAB與∠ABC的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的關(guān)系，可得∠AFC=∠ACB-∠3=36°，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AC與CF的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：證明：如圖：
，
連接AF，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°，
∴∠1=∠BAD=36°，
∴DA=DB．
∵AE=BE，
∴FE⊥AB，即FE是AB的垂直平分線，
∴FA=FB，
∴∠FAB=∠ABC=72°，
∴∠3=∠FAB-∠BAC=36°，
∵∠ACB=∠3+∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠3=36°，
∴∠3=∠AFC，
∴AC=CF，
∴AB=CF．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．