Question

已知：如圖，四邊形ABCD中AC、BD相于點O，AB=AC，AB⊥AC，BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC于E，OA=1．
（1）求OC的長；
（2）求證：BO=2CD．

Answer 1

分析：（1）由于BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC，可知O為∠ABC平分線上的一點，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，求出OE的長，由于△ABC為等腰直角三角形，故知∠BCA=45°，∠CBA=45°，可知△OEC為等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OC的長；
（2）在直角三角形ABO中，由于AB=AC=1+

2

，AO=1，利用勾股定理求出BO的長，易得，△AOB∽△DOC，
利用相似三角形的性質(zhì)求出CD的長，即可得出BO=2CD．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC，
∴OE=OA=1，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∵OE⊥BC，
∴△OEC為等腰直角三角形，
∴OC=

12+12

=

2

；

證明：（2）Rt△ABO中，AB=AC=1+

2

，AO=1，
BO=

(1+ 2 )2+12

=

4+2 2

，
易得，△AOB∽△DOC，

OB

OC

=

AB

CD

，
即

4+2 2

2

=

1+ 2

CD

，
CD=

2+ 2 2

=

4+2 2

2

，
則2CD=

4+2 2

，
可得BO=2CD．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，要注意計算過程中無理數(shù)的相關(guān)計算法則．