Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；
（2）問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形;
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo).
（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，問(wèn)：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

將A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；

如圖②所示：∠QPA=90°時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．

綜上所述，當(dāng)t=1或t=時(shí)，△PQA是直角三角形.

（3）

解：

如圖③所示：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）．

（4）

解：

如圖④所示：

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t）．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．

∴MB==．

當(dāng)△BOP∽△QBM時(shí)，即：，整理得：t2﹣3t+3=0，

△=32﹣4×1×3＜0，無(wú)解：

當(dāng)△BOP∽△MBQ時(shí)，即：，解得t=．

∴當(dāng)t=時(shí)，以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似．

【解析】（1）先由直線AB的解析式為y=﹣x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可知：∠QAP=45°，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t ， PA=3﹣t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2 ， EP∥FQ，EF∥PQ，所以四邊形為平行線四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知EP=FQ，從而的到關(guān)于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后將t=1代入即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t），然后由拋物線的解析式求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可求得MB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于t的方程，然后即可解得t的值．