Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連結(jié)ED，以PE、ED為鄰邊作PEDF．設(shè)PEDF與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長(zhǎng)為x（0＜x＜6）．

（1）求線段PE的長(zhǎng)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形PEDF為菱形時(shí)，求x的值．
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A′，當(dāng)線段A′B的垂直平分線與直線AD相交時(shí)，設(shè)其交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q位于直線BC同側(cè)（不包括點(diǎn)Q在直線BC上）時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

又∵△ABC是等邊△，

∴△APE是等邊三角形，

∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）

解：∵四邊形PEDF為菱形，

∴PE=DE=x，

又∵△APE是等邊三角形，則AE=PE，

∴AE=DE，

∴∠DAC=∠ADE，

又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

∴DE=EC=AE=AC=AB=3．

即x=3；

（3）

解：當(dāng)x=3，即P是AB的中點(diǎn)時(shí)，PE=BC，則F與B重合．

則當(dāng)0＜x≤3時(shí)，重合部分就是平行四邊形PEDF，如圖1．

等邊△ABC中，AD=ABsin60°=6×=3，等邊△APE中，AM=APsin60°=x，

則DM=3﹣x，

則y=x（3﹣x），即y=﹣x2+3x；

當(dāng)3＜x＜6時(shí)，重合部分是梯形PEDB，如圖2．

則y=（PE+BD）DM=（x+3）（3﹣x），即y=﹣；

（4）

解：情形一：當(dāng)A′在BC上方時(shí)，如圖3所示，

當(dāng)A′B的中垂線正好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，A′D=BD=3，

則AA′=3-3．

則AM=AA′=（3-3），

∴x=AP==3-．

則x的取值范圍是：0＜x＜3-．

情形二：當(dāng)A′在BC上時(shí)，PQ∥AD，如圖4所示，

AP=A′P=BP=AB=×6=3．

情形三：當(dāng)A′在BC下方時(shí)，如圖5所示，

當(dāng)A′B的中垂線正好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，A′D=BD=3，

則AA′=3+3．

則AM=AA′=（3+3），

∴x=AP==3+．

則x的取值范圍是：3＜x＜3+．

綜上所示，x的取值范圍為0＜x＜3﹣或3＜x＜3+．

【解析】（1）證明△APE是等邊三角形，即可求解；
（2）四邊形PEDF為菱形時(shí)，AE=DE，然后證明DE=EC即可得到E是AC的中點(diǎn)，則P是AB的中點(diǎn)，據(jù)此即可求解；
（3）當(dāng)x=3，即P是AB的中點(diǎn)時(shí)，PE=BC，則F與B重合，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，重合部分就是平行四邊形PEDF，當(dāng)3＜x≤6時(shí)，重合部分是梯形PEDB，根據(jù)平行四邊形和梯形的面積公式即可求解；
（4）首先求得當(dāng)A'B的中垂線正好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)x的值，據(jù)此即可求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及對(duì)平行四邊形的性質(zhì)的理解，了解平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．