Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB運(yùn)動，連接AP，過點(diǎn)P作EP⊥AP，分別交直線CD、AB的延長線于點(diǎn)E、F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時（如圖1），求證：BP=EC+BE；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，畫出圖形，猜想線段BP、EC、BF之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求得PC+PB=BC=AB，然后證得△PFB∽△PEC，得出PC•BF=PB•CE，在直角三角形PAF中，PB是斜邊AF上的高，根據(jù)射影定理得出
PB²=AB•BF=BC•BF=（PB+PC）•BF=PB•BF+PC•BF=PB•BF+PB•CE=PB•（BF+CE），即可證得結(jié)論；
（2））先根據(jù)正方形的性質(zhì)求得PC-PB=BC=AB，然后證得△PFB∽△PEC，得出PC•BF=PB•CE，在直角三角形PAF中，PB是斜邊AF上的高，根據(jù)射影定理得出PB²=AB•BF=BC•BF=（PC-PB）•BF=PC•BF-PB•BF=PB•CE-PB•BF=PB•（CE-BF），即可證得結(jié)論；

解答：（1）證明：如圖1，∵ABCD為正方形
∴PC+PB=BC=AB
∵AP⊥EF，CB⊥AB
∵在直角三角形PCE和直角三角形PBF中，∠BPF=∠CPE
∴△PFB∽△PEC
∴

PB

PC

=

BF

CE

，
∴PC•BF=PB•CE
∵PA⊥EF，PB⊥AB
∴在直角三角形PAF中，PB是斜邊AF上的高
∴PB²=AB•BF=BC•BF=（PB+PC）•BF=PB•BF+PC•BF=PB•BF+PB•CE=PB•（BF+CE）
∴BP=EC+BF．

（2）BP=EC-BF．
證明：如圖2，
∵四邊形ABCD為正方形
∴PC-PB=BC=AB
∵AP⊥EF，CB⊥AB
∵在直角三角形PCE和直角三角形PBF中，∠BPF=∠CPE
∴△PFB∽△PEC
∴

PB

PC

=

BF

CE

，
∴PC•BF=PB•CE
∵PA⊥EF，PB⊥AB
∴在直角三角形PAF中，PB是斜邊AF上的高
∴PB²=AB•BF=BC•BF=（PC-PB）•BF=PC•BF-PB•BF=PB•CE-PB•BF=PB•（CE-BF）
∴BP=EC-BF．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，射影定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是關(guān)鍵．