Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從O出發(fā)，沿折線方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，的面積為S，求S與t的關(guān)系式，直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）E（10，6）；（2）S= -8t+54（0≤t≤3）或S=-6t+48（3＜t≤8）；（3）存在， Q（14.4，-4.8）或（18.4，-4.8）．

【解析】

（1）設(shè)AE=x，根據(jù)勾股定理列方程得：（18-x）2+62=x2，解出可得結(jié)論；
（2）分兩種情況：P在OA或AE上，分別根據(jù)三角形面積列式即可；
（3）先根據(jù)分別計(jì)算PA和PE的長(zhǎng)，如圖4，過G作GH⊥OC于H，設(shè)OF=y，根據(jù)勾股定理列方程可得y的值，利用面積法計(jì)算GH的長(zhǎng)，得G的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移規(guī)律可得Q的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，矩形ABCO中，B（18，6），

∴AB=18，BC=6，
設(shè)AE=x，則EC=x，BE=18-x，
Rt△EBC中，由勾股定理得：EB2+BC2=EC2，
∴（18-x）2+62=x2，
x=10，
即AE=10，
∴E（10，6）；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)P在OA上時(shí)，0≤t≤3，如圖2，
S=S矩形OABC-S△PAE-S△BEC-S△OPC，
=18×6-×10（6-2t）-×8×6-×18×2t，
=-8t+54，
②當(dāng)P在AE上時(shí)，3＜t≤8，如圖3，

S=PEBC=×6×(162t)=3（16-2t）=-6t+48；
（3）存在，由PA=PE可知：P在AE上，如圖4，過G作GH⊥OC于H，

∵AP+PE=10，
∴AP=6，PE=4，
設(shè)OF=y，則FG=y，FC=18-y，
由折疊得：∠CGF=∠AOF=90°，
由勾股定理得：FC2=FG2+CG2，
∴（18-y）2=y2+62，
y=8，
∴FG=8，FC=18-8=10，
FCGH＝FGCG，
×10×GH＝×6×8，
GH=4.8，
由勾股定理得：FH==6.4，
∴OH=8+6.4=14.4，
∴G（14.4，-4.8），
∵點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且PE=4，
∴Q（14.4，-4.8）或（18.4，-4.8）．