Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H．點(diǎn)G在⊙O上，過(guò)點(diǎn)G作直線EF，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接AG交CD于K，且KE=GE．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC∥EF，

AH

AC

=

3

5

，F(xiàn)B=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）求出∠OGA=∠OAG，∠AKH+∠OAG=90°，∠KGE=∠GKE=∠AKH，推出∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°，得出∠OGE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）求出∠F=∠CAH，∠OGF=∠CHA=90°，推出Rt△AHC∽R(shí)t△FGO，得出

CH

AC

=

OG

OF

，根據(jù)

CH

AC

=

4

5

求出

OG

OF

=

4

5

，得出方程

4

5

=

OG

OG+1

，求出即可．

解答：解：（1）直線EF與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：如圖，連接OG，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
∵KE=GE，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，
∴∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°，
∴∠OGE=90°
即OG⊥EF，又∵G在圓O上
∴EF與圓O相切． 

（2）∵AC∥EF，
∴∠F=∠CAH，
∵∠OGF=∠CHA=90°，
∴Rt△AHC∽R(shí)t△FGO，
∴

CH

AC

=

OG

OF

，
∵在Rt△OAH中，

AH

AC

=

3

5

，設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t．
∴

CH

AC

=

4

5

，
∴

OG

OF

=

4

5

，
∵FB=1，
∴

4

5

=

OG

OG+1

，
解得：OG=4，
即圓O的半徑為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，切線的判定的應(yīng)用，注意：經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．