Question

△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，且4AD=AB．過D的射線l與C在AB的同側(cè)，交△ABC的外接圓于P，且∠ADP=∠ACB，證明PB=2PD．

Answer 1

證明：連接AP．
∵∠APB=∠ACB，∠ADP=∠ACB，
∴∠APB=∠ADP，
而∠ABP公共，
∴△APB∽△ADP．
∴PA²=AD•AB，
又∵4AD=AB，
∴PA²=4AD²，即PA=2AD．
由△APB∽△ADP，得==2，
所以PB=2PD．
分析：連接AP，由∠APB=∠ACB，∠ADP=∠ACB，得到∠APB=∠ADP，可證出△APB∽△ADP，從而PA²=AD•AB=4AD²，得PA=2AD，從而證得PB=2PD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．同弧所對(duì)的圓周角相等，并且等于它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．