【題目】古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常用小石子擺成各種形狀來研究數(shù)學問題.
如圖1,由于這些三角形是由1個,3個,6個,10個,… 小石子擺成的,所以他們稱1,3,6,10,…,這些數(shù)為三邊形數(shù);類似的,如圖2,他們稱1,4,9,16,…,這樣的數(shù)為四邊形數(shù).
(1)既是三邊形數(shù),又是四邊形數(shù),且大于1的最小正整數(shù)是 ;
(2)如果記第n個k邊形小石子的個數(shù)為(k≥3),那么易得,,.
① ; ;
② ; ;
③ 如果,那么 ;
(3)如果進一步研究發(fā)現(xiàn),,…,那么 .
【答案】(1)36;(2)① 6,81;②,;③ 10;(3)1 000.
【解析】
(1)圖1中1、3、6、10,…,第n個圖中點的個數(shù)是1+2+3+…+n,即;圖2中1、4、9、16,…,第n個圖中點的個數(shù)是n2,求出能同時滿足兩個式子的數(shù),即可得出結果;
(2)由圖1中1、3、6、10,…,第n個圖中點的個數(shù)是1+2+3+…+n,即;圖2中1、4、9、16,…,第n個圖中點的個數(shù)是n2,即可得出結果;
(3)由M(n,3),M(n,4),M(n,5),M(n,6),可推斷M(n,k)(k≥3),將M(10,24)代入即可得出結果.
(1)∵四邊形數(shù)點的個數(shù)是為n2,
∴除1外,分別為4,9,16,25,36,49,64,….
∵圖1中1、3、6、10,…,第n個圖中點的個數(shù)是1+2+3+…+n,即三邊形數(shù)點的個數(shù)是為,
∵4無正整數(shù)解,
∴4不是三邊形數(shù).
∵9無正整數(shù)解,
∴9不是三邊形數(shù).
∵16無正整數(shù)解,
∴16不是三邊形數(shù).
∵25無正整數(shù)解,
∴25不是三邊形數(shù).
∵36,解得:n=8,所以36是三邊形數(shù),
∴除1外,最小的既是三邊形數(shù)又是四邊形數(shù)的是36.
故答案為:36;
(2)由(1)知:M(n,3),M(n,4)=n2;
故:①M(3,3)==6,M(9,4)=92=81;
②M(n,3),M(n,4)=n2;
③M(n,3)=55,
∴n2+n-110=0,
∴(n-10)(n+11)=0,
解得:n=10或n=-11(舍去),
∴n=10.
(3)∵M(n,3),
M(n,4)=n2,
M(n,5)n2n,
M(n,6)=2n2﹣n,
∴由此變化規(guī)律可推斷M(n,k)(k≥3),
∴M(10,24)1000.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知、、是數(shù)軸上三點,點為原點,點表示的數(shù)為6,,.
(1)寫出數(shù)軸上點、表示的數(shù);
(2)動點、分別從、同時出發(fā),沿數(shù)軸向右勻速運動.點的速度是每秒6個單位長度,點的速度是每秒3個單位長度,點為的中點,點在線段上,且,設運動時間為秒.
①求數(shù)軸上點、表示的數(shù)(用含的式子表示);
②當、、三個點中的其中一個點是另兩點構成的線段的中點的時候,求的值.
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【題目】如圖,表中給出的是某月的月歷,任意選取“U”型框中的7個數(shù)(如陰影部分所示),請你運用所學的數(shù)學知識來研究,發(fā)現(xiàn)這7個數(shù)的和不可能的是( )
A.70B.78C.84D.
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【題目】已知某項工程由甲乙兩隊合作12天可以完成,供需工程費用13800元,乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的1.5倍,且甲隊每天的工程費用比乙隊多150元。
(1)甲乙兩隊單獨完成這項工程分別需要多少天?
(2)若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成這項工程,從節(jié)約資金的角度考慮,應該選擇哪個工程隊?請說明理由。
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【題目】2019年7月9日,北京市滴滴快車調(diào)整了價格,規(guī)定車費由“總里程費+總時長費”兩部分構成,具體收費標準如下表:(注:如果車費不足起步價,則按起步價收費.)
時間段 | 里程費(元/千米) | 時長費(元/分鐘) | 起步價(元) |
06:00—10:00 | 1.80 | 0.80 | 14.00 |
10:00—17:00 | 1.45 | 0.40 | 13.00 |
17:00—21:00 | 1.50 | 0.80 | 14.00 |
21:00—06:00 | 2.15 | 0.80 | 14.00 |
(1)小明07:10乘快車上學,行駛里程6千米,時長10分鐘,應付車費 元;
(2)小芳17:20乘快車回家,行駛里程1千米,時長15分鐘,應付車費 元;
(3)小華晚自習后乘快車回家,20:45在學校上車.由于道路施工,車輛行駛緩慢,15分鐘后選擇另外道路,改道后速度是改道前速度的3倍,10分鐘后到家,共付了車費37.4元,問從學校到小華家快車行駛了多少千米?
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【題目】某校七年級開展征文活動,征文主題只能從“愛國”“敬業(yè)”“誠信”“友善”四個主題選擇一個,七年級每名學生按要求都上交了一份征文,學校為了解選擇各種征文主題的學生人數(shù),隨機抽取了部分征文進行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)求共抽取了多少名學生的征文;
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,“愛國”主題所對應的圓心角是多少;
(4)如果該校七年級共有名學生,請估計該校選擇以“友善”為主題的七年級學生有多少名.
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【題目】在平面直角坐標系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點A的坐標為(2,0),點D的坐標為(0,4).延長CB交x軸于點A1,作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2,作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進行下去,第2018個正方形的面積為( 。
A. B. C. D.
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象過P(1,4),Q(4,2)兩點,且與x軸交于A點.
(1)求A點坐標;
(2)已知點M在x軸上,若使MP+MQ的值最小,求點M的坐標及MP+MQ的最小值;
(3)在(2)的條件下,在坐標平面內(nèi)是否還存在一點N,使M,N,A,Q四點恰好構成平行四邊形,若存在請求出點N的坐標,若不存在請說明理由。
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【題目】(1)解方程:3x+5=x+2請按所給導語,填寫完整.
解:移項,得3x____=2____,(依據(jù):_____).
合并同類項,得______,
系數(shù)化為1,得_____,(依據(jù):______).
(2)解方程:2(x+15)=18﹣3(x﹣9).
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