Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，點(diǎn)A(0,1)，B為y軸上一動點(diǎn)，以BP為邊作等邊△PBC.

(1)當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到(0,4)時，AC＝　　　　；

(2)∠CAP的度數(shù)為　　　　；

(3)當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動時，AE的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出AE的值；若變化，說明變化的規(guī)律.

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）60；（3）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動時，AE的長度不發(fā)生變化，AE=2.

【解析】

（1）根據(jù)△AOP和△BCP是等邊三角形，得到OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60，得到∠OPB=∠APC，由此證得△PBO≌△PCA，即可得到答案；

（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，根據(jù)∠BAC=∠BPC=60，即可求出答案；

（3）由∠EAO=∠BAC=60，求出∠AEO=30，得到AE=2AO=2，即可得到結(jié)論.

（1）∵△AOP和△BCP是等邊三角形，

∴OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60，

∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB，

即∠OPB=∠APC，

在△PBO和△PCA中，

,

∴△PBO≌△PCA，

∴OB=AC=4.

故答案為：4；

（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，

∴∠BAC=∠BPC=60，

∵∠OAP=60，

∴∠CAP=180-∠BAC-∠OAP=60.

故答案為：60；

（3）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動時，AE的長度不發(fā)生變化，

理由：∵∠EAO=∠BAC=60，∠AOE=90，

∴∠AEO=30，

∴AE=2AO=2，

即當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動時，AE的長度不發(fā)生變化.